Strukturtheorie Der Wahrscheinlichkeitsfelder Und -R ume

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LEBESGUE hat am Anfang dieses Jahrhunderts den Begriff des Ma es eingef hrt, der eine Erweiterung des lteren Begriffes des Inhalts war. So schuf er die M glichkeit, den Definitionsbereich des Inhaltes auf mehr Teilmengen der Zahlengeraden, allgemeiner eines euklidischen Raumes, zu erweitern. Es entstand dann die Frage, ob jede Teilmenge me bar ist. VITALI entdeckte 1905 die Existenz von nicht me baren Teilmengen der Zahlengeraden. Sp ter, als man abstrakte Ma e auf Mengenk rpern bzw. Booleringen (Booleschen Algebren) einf hrte, erhob sich, neben dem Problem der Erweiterung des Definitionsbereiches des abstrakten Ma es, auch die Frage, ob man auf einem beliebigen Mengenk rper bzw. Boolering ein nicht triviales Ma , und zwar mit bestimmten Eigenschaf- ten erkl ren kann. Dies ist im allgemeinen nicht m glich; hier geht wesentlich die Struktur des Mengenk rpers bzw. des Booleringes in das Problem ein. Diese Frage ist f r die Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung, weil man in dies r Theorie die Zufallsereignisse mit abstrakten Mengen oder mit Elementen eines Booleringes darstellt und die Wahrscheinlichkeit als ein normiertes und in gewissen F llen strikt positives Ma betrachtet. ber die Strukturtheorie der Wahr- scheinlichkeitsfelder und -r ume sind deshalb in den letzten J ahrzehn- ten viele Untersuchungen angestellt worden. In dem vorliegenden Be- richt haben wir versucht, das Wichtige davon zusammenzustellen. Ein gro er Teil des Berichtes wird den verschiedenen Arten der Unabh n- gigkeit und dem Begriff des cartesischen Produktes gewidmet, Begriffe, die haupts chlich aus Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie ent- standen sind und eine gro e Rolle bei der Charakterisierung der Struktur der Wahrscheinlichkeitsfelder spielen.